Докажите неравенство a^6+1/a^4+2a>4, при a>0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что данное неравенство эквивалентно неравенству:

a^6 + 2a - 4 * a^4 > 0

Теперь преобразуем левую часть неравенства:

a^6 + 2a - 4 a^4 = a^4 (a^2 - 4) + 2a = a^4 (a^2 - 4) + 2a = a^4 (a^2 - 4) + 2a + 8 -8 = a^4 (a^2 - 4) + 2(a^2 - 4) = (a^2 - 4) (a^4 + 2) = (a^2 - 4)(a^4 + 2) = (a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^4 + 2)

Мы получили, что левая часть неравенства равна произведению трех множителей.

Так как a > 0, то a^2 > 0 и a^4 > 0, значит все три множителя положительны.

Таким образом, a^6 + 1/a^4 + 2a > 4 при a > 0.

Неравенство доказано.