В равнобедренном треугольнике abc точки k и m-середины боковых сторон найдите радиус окружности вписанной в треугольник mbn

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту треугольника ABC, опущенную из вершины A на сторону BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то эта высота также является медианой и биссектрисой. Обозначим ее через h.

Так как AM является медианой, то она делит сторону BC пополам, следовательно, AM = MC = h/2. Также из равнобедренности треугольника ABC следует, что угол CAB равен углу CBA, и значит треугольник AMC тоже является равнобедренным. Таким образом, AM = AC и угол MAC равен углу MCA.

Теперь обратимся к треугольнику MBN. Так как точка M - середина стороны BN, то BM = MN. Обозначим радиус вписанной окружности как r.

Давайте соединим касательную к окружности, проведенную из точки M, и луч BM и луч MN, а также высоту, проведенную из точки M на стороне BN. Обозначим точку касания касательной с окружностью через K, а точку пересечения касательной с стороной BN через L.

Таким образом, получаем, что треугольник BKL является подобным треугольнику BMN, так как угол KBL равен углу NMK по построению.

Из подобия треугольников BMN и BKL получаем следующее:

BK/BN = BL/BM = KL/MN.

Поскольку BM = MN, то KL равно BL. Итак, BL = r.

Обратимся к треугольнику AMC, в котором точка M - середина стороны AC. Проведем высоту AM и обозначим точку их пересечения с BC через P.

Так как AM = MC = h/2, то AP также равно h/2. Также заметим, что треугольник APM равнобедренный, так как угол AMP равен углу APM (так как AM = MP) и угол PAM равен углу PMA.

Из подобия треугольников APM и ABC мы можем записать следующее отношение:

AP/AC = MP/BC = PM/AB.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC и BC = 2*AB. Подставляем это в выражение и получаем:

h/2/AB = h/2/2AB = h/2/AB/2 = h/2/AB/2 = r/BL.

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника MBN равен h/2, где h - высота равнобедренного треугольника ABC, опущенная из вершины A на сторону BC.