Таким образом, уравнение имеет два корня t1 = 3.5 и t2 = 1.
Теперь подставим значения t в исходное уравнение x^2 = t:
Для t = 3.5: x^2 = 3.5 => x = ±√3.5 ≈ ±1.87.
Для t = 1: x^2 = 1 => x = ±1.
Итак, уравнение имеет четыре корня x1 ≈ -1.87 x2 ≈ 1.87 x3 = -1 x4 = 1.
Теперь рассмотрим поведение функции на промежутках между корнями и около них. Для этого изучим знак функции на этих промежутках. Мы уже знаем, что у функции есть нули в точках x = -1.87, x = 1.87, x = -1 и x = 1.
Промежуток (-бесконечность; -1.87) Подставим, например, x = -2 в уравнение 2x^4 - 9x^2 + 7 2(-2)^4 - 9(-2)^2 + 7 = 216 - 94 + 7 = 32 - 36 + 7 = 3 Значит, функция положительная на промежутке (-бесконечность; -1.87).
Промежуток (-1.87; -1) Функция будет отрицательной на данном промежутке, так как меняет знак от положительного к отрицательному при прохождении ноля x = -1.87.
Промежуток (-1; 1) Точка x = -1 является нулем функции, и функция меняет знак с отрицательного на положительный при прохождении этой точки. Точно также, при x = 1 функция также меняет знак с положительного на отрицательный.
Промежуток (1; 1.87) Функция будет положительной на данном промежутке, так как меняет знак от отрицательного к положительному при прохождении ноля x = 1.87.
Промежуток (1.87; +бесконечность) Подставим, например, x = 2 в уравнение 2x^4 - 9x^2 + 7 2(2)^4 - 9(2)^2 + 7 = 216 - 94 + 7 = 32 - 36 + 7 = 3 Значит, функция положительная на промежутке (1.87; +бесконечность).
Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно переменной x^2.
Прежде всего, проведем замену переменной: пусть t = x^2, тогда уравнение примет вид 2t^2 - 9t + 7 = 0.
Решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -9, c = 7:
D = (-9)^2 - 427 = 81 - 56 = 25.
Поскольку D > 0, то у уравнения есть два корня. Рассчитаем их:
t1 = (-(-9) + √25) / (22) = (9 + 5)/4 = 14/4 = 3.5
t2 = (-(-9) - √25) / (22) = (9 - 5)/4 = 4/4 = 1.
Таким образом, уравнение имеет два корня
t1 = 3.5 и t2 = 1.
Теперь подставим значения t в исходное уравнение x^2 = t:
Для t = 3.5: x^2 = 3.5 => x = ±√3.5 ≈ ±1.87.
Для t = 1: x^2 = 1 => x = ±1.
Итак, уравнение имеет четыре корня
x1 ≈ -1.87
x2 ≈ 1.87
x3 = -1
x4 = 1.
Теперь рассмотрим поведение функции на промежутках между корнями и около них. Для этого изучим знак функции на этих промежутках. Мы уже знаем, что у функции есть нули в точках x = -1.87, x = 1.87, x = -1 и x = 1.
Промежуток (-бесконечность; -1.87)
Подставим, например, x = -2 в уравнение 2x^4 - 9x^2 + 7
2(-2)^4 - 9(-2)^2 + 7 = 216 - 94 + 7 = 32 - 36 + 7 = 3
Значит, функция положительная на промежутке (-бесконечность; -1.87).
Промежуток (-1.87; -1)
Функция будет отрицательной на данном промежутке, так как меняет знак от положительного к отрицательному при прохождении ноля x = -1.87.
Промежуток (-1; 1)
Точка x = -1 является нулем функции, и функция меняет знак с отрицательного на положительный при прохождении этой точки. Точно также, при x = 1 функция также меняет знак с положительного на отрицательный.
Промежуток (1; 1.87)
Функция будет положительной на данном промежутке, так как меняет знак от отрицательного к положительному при прохождении ноля x = 1.87.
Промежуток (1.87; +бесконечность)
Подставим, например, x = 2 в уравнение 2x^4 - 9x^2 + 7
2(2)^4 - 9(2)^2 + 7 = 216 - 94 + 7 = 32 - 36 + 7 = 3
Значит, функция положительная на промежутке (1.87; +бесконечность).
Исследование функции завершено.