Известно, что sin t * cos t = -0.5 (произведение синуса и косинуса равно -0,5) Найти sin^8 t + cos ^8 t (синус в 8-ой степени плюс косинус в 8-ой степени)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем формулу для возведения суммы восьмой степени:

(sin^2 t + cos^2 t)^4 = sin^8 t + 4 sin^6 t cos^2 t + 6 sin^4 t cos^4 t + 4 sin^2 t cos^6 t + cos^8 t

Так как sin^2 t + cos^2 t = 1, то:

1^4 = sin^8 t + 4 sin^6 t cos^2 t + 6 sin^4 t cos^4 t + 4 sin^2 t cos^6 t + cos^8 t

1 = sin^8 t + 4 sin^6 t cos^2 t + 6 sin^4 t cos^4 t + 4 sin^2 t cos^6 t + cos^8 t

Так как sin t * cos t = -0.5, то:

1 = sin^8 t + 4 sin^6 t (-0.5) + 6 sin^4 t (-0.5)^2 + 4 sin^2 t (-0.5)^3 + cos^8 t

1 = sin^8 t - 2 sin^6 t + 6 sin^4 t 0.25 - 4 sin^2 t * 0.125 + cos^8 t

1 = sin^8 t - 2 sin^6 t + 1.5 sin^4 t - 0.5 * sin^2 t + cos^8 t

Так как sin^2 t + cos^2 t = 1, то sin^2 t = 1 - cos^2 t. Подставляем это в уравнение:

1 = sin^8 t - 2 sin^6 t + 1.5 sin^4 t - 0.5 * (1 - cos^2 t) + cos^8 t

1 = sin^8 t - 2 sin^6 t + 1.5 sin^4 t - 0.5 + 0.5 * cos^2 t + cos^8 t

1 = sin^8 t - 2 sin^6 t + 1.5 sin^4 t + 0.5 * cos^2 t + cos^8 t

Ответ: sin^8 t + cos^8 t = 1.