1. Найти решение уравнения, принадлежащее интервалу а) cos5x = cosx - 2sin2x, [ -pi/2; 5pi/6 ]. б) tg(pi/4 - x) = tg(pi/2 - x) + tg(7pi/4), ( pi; 5pi ) . 2. Найти решение уравнения, принадлежащее интервалу 2sin^2x - tgx - (sinx - cosx)^2 = 0, [ -pi/2; 3pi/2 ]. 3. Решить уравнение 4cos^3(x/2) + (3/sqrt(2))*sinx=8cos(x/2). 4. Решить уравнение sin3x - sinx + cos (2pi - 2x) = 1 . 5. Решить уравнение (2sin^4(x) - 1) * (1 / cos^4(x)) = 2. P.S. sqrt - корень квадратный из числа ^... - возведен в степени...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для уравнения cos5x = cosx - 2sin2x на интервале [-pi/2; 5pi/6] можем воспользоваться формулой косинуса разности:
cos5x = cosx - 2(2sinxcosx)

Подставим данное уравнение в исходное:
cosx - 2(2sinxcosx) = cosx - 2sin2x
cosx - 4sinxcosx = cosx - 2sin2x
cosx - 4sinxcosx - cosx + 2sin2x = 0
cosx(1 - 4sinx) - sinx(1 - 2sinx) = 0
(cosx - sinx)(1 - 2sinx) = 0

Отсюда получаем два уравнения:
1) cosx = sinx
2) 1 - 2sinx = 0

1) cosx = sinx
cosx = √(1 - sin^2(x))
cosx = √(1 - cos^2(x))
cos^2(x) = 1 - cos^2(x)
2cos^2(x) = 1
cosx = ±1/√2
x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4

2) 1 - 2sinx = 0
sinx = 1/2
x = π/6, 5π/6

Итак, решения уравнения в интервале [-pi/2; 5pi/6]: x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, π/6, 5π/6.

б) Придется использовать график функции тангенса или методы численного анализа для поиска корней на данном интервале.

Решение уравнения 2sin^2x - tgx - (sinx - cosx)^2 = 0 на интервале [-pi/2; 3pi/2] может быть найдено аналитически путем раскрытия скобок, приведения подобных и использования тригонометрических тождеств.

4cos^3(x/2) + (3/sqrt(2))sinx = 8cos(x/2)
4cos^3(x/2) + (3/sqrt(2))sinx = 8cos(x/2)
4cos(x/2)(cos^2(x/2)) + 3/sqrt(2)sinx = 8cos(x/2)
4cos^2(x/2)(cos(x/2)) + 3/sqrt(2)sinx = 8cos(x/2)
4cos(x/2)(1 - sin^2(x/2)) + 3/sqrt(2)sinx = 8cos(x/2)
4cos(x/2) - 4sin^2(x/2)cos(x/2) + 3/sqrt(2)sinx = 8cos(x/2)
4cos(x/2) - 4sin(x/2)cos(x/2) + 3/sqrt(2)sinx = 8cos(x/2)
4cos(x/2) - 2sinx + 3/sqrt(2)sinx = 8cos(x/2)
4cos(x/2) + (3/sqrt(2) - 2)sinx = 8cos(x/2)
(4 - 8)cos(x/2) = (2 - 3/sqrt(2))sinx
-4cos(x/2) = (2 - 3/sqrt(2))sinx
cos(x/2) = (3/sqrt(2) - 2)sinx

Это уравнение не имеет явного аналитического решения, возможно нахождение численными методами.

sin3x - sinx + cos(2pi - 2x) = 1
3sinx - sinx + cos(2pi)cos(2x) + sin(2pi)sin(2x) = 1
2sinx + cos(2x) = 1
2sinx + 2cos^2(x) - 1 = 1
2sinx + 2(1 - sin^2(x)) - 1 = 1
2sinx + 2 - 2sin^2(x) - 1 = 1
2sinx - 2sin^2(x) + 1 = 1
2sinx - 2sin^2(x) = 0
2sinx(1 - sinx) = 0
Отсюда получаем два уравнения:
1) sinx = 0
2) sinx = 1
Решения: x = 0, π/2

(2sin^4(x) - 1) * (1 / cos^4(x)) = 2
2sin^4(x) - 1 = 2cos^4(x)
2sin^4(x) - 1 = 2(1 - sin^2(x))^2
2sin^4(x) - 1 = 2(1 - 2sin^2(x) + sin^4(x))
2sin^4(x) - 1 = 2 - 4sin^2(x) + 2sin^4(x)
4sin^2(x) = 3
sin^2(x) = 3/4 или sin(x) = ±√3/2
x = π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3

Надеюсь, это поможет вам в решении данных уравнений.