"натуральное число при делении на 5 даёт в остатке 4. докажите что сумма куба этого числа и его квадрата делится на 5"

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть данное натуральное число равно n.

Так как при делении n на 5 остаток равен 4, то мы можем записать это как
n = 5k + 4, где k - целое число.

Тогда куб этого числа будет равен
n^3 = (5k + 4)^3 = 125k^3 + 300k^2 + 240k + 64.

И квадрат этого числа будет равен
n^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16.

Сумма куба и квадрата числа будет
n^3 + n^2 = 125k^3 + 25k^2 + 300k^2 + 40k + 240k + 16 + 64 = 125k^3 + 325k^2 + 280k + 80.

Проверим, делится ли данная сумма на 5
125k^3 + 325k^2 + 280k + 80 = 5(25k^3 + 65k^2 + 56k + 16).

Таким образом, мы доказали, что сумма куба данного числа и его квадрата делится на 5.