Для того чтобы определить убывает ли функция y=(8-x^2)*e^(x+1) на интервале (а;а+3), нужно найти производную этой функции.
y'(x) = (16x - 2x^3 - 8)e^(x+1)
Для того чтобы понять, убывает ли функция y на интервале (а; а+3), нужно исследовать знак производной на этом интервале.
Найдем точки, в которых производная равна 0:
(16x - 2x^3 - 8)e^(x+1) = 0
16x - 2x^3 - 8 = 0
2x(8 - x^2 - 4) = 0
x = 0, x = -2, x = 2
Исследуем знак производной на интервалах а) (-∞; -2) Т.к. x < -2, то 16x > 0, -2x^3 > 0, 8 < 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) < 0 e^(x+1) > 0. Таким образом производная отрицательна. Функция убывает на интервале от (-∞; -2).
б) (-2; 0) Т.к. -2 < x < 0, то 16x < 0, -2x^3 < 0, 8 < 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) > 0 e^(x+1) > 0. Таким образом производная положительна. Функция возрастает на интервале от (-2, 0).
в) (0; 2) Т.к. 0 < x < 2, то 16x > 0, -2x^3 < 0, 8 > 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) > 0 e^(x+1) > 0. Таким образом производная положительна. Функция возрастает на интервале от (0; 2).
г) (2; +∞) Т.к. x > 2, то 16x > 0, -2x^3 < 0, 8 > 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) > 0 e^(x+1) > 0. Таким образом производная положительна. Функция возрастает на интервале от (2; +∞).
Таким образом, на интервале (a; a+3) функция y=(8-x^2)*e^(x+1) убывает при a < -2.
Для того чтобы определить убывает ли функция y=(8-x^2)*e^(x+1) на интервале (а;а+3), нужно найти производную этой функции.
y'(x) = (16x - 2x^3 - 8)e^(x+1)
Для того чтобы понять, убывает ли функция y на интервале (а; а+3), нужно исследовать знак производной на этом интервале.
Найдем точки, в которых производная равна 0:(16x - 2x^3 - 8)e^(x+1) = 0
16x - 2x^3 - 8 = 0
2x(8 - x^2 - 4) = 0
x = 0, x = -2, x = 2
Исследуем знак производной на интервалаха) (-∞; -2)
Т.к. x < -2, то 16x > 0, -2x^3 > 0, 8 < 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) < 0
e^(x+1) > 0. Таким образом производная отрицательна. Функция убывает на интервале от (-∞; -2).
б) (-2; 0)
Т.к. -2 < x < 0, то 16x < 0, -2x^3 < 0, 8 < 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) > 0
e^(x+1) > 0. Таким образом производная положительна. Функция возрастает на интервале от (-2, 0).
в) (0; 2)
Т.к. 0 < x < 2, то 16x > 0, -2x^3 < 0, 8 > 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) > 0
e^(x+1) > 0. Таким образом производная положительна. Функция возрастает на интервале от (0; 2).
г) (2; +∞)
Т.к. x > 2, то 16x > 0, -2x^3 < 0, 8 > 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) > 0
e^(x+1) > 0. Таким образом производная положительна. Функция возрастает на интервале от (2; +∞).
Таким образом, на интервале (a; a+3) функция y=(8-x^2)*e^(x+1) убывает при a < -2.