При каких значениях параметра а функция y=(8-x^2)*e^(x+1) убывает на интервале (а;а+3)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы определить убывает ли функция y=(8-x^2)*e^(x+1) на интервале (а;а+3), нужно найти производную этой функции.

y'(x) = (16x - 2x^3 - 8)e^(x+1)

Для того чтобы понять, убывает ли функция y на интервале (а; а+3), нужно исследовать знак производной на этом интервале.

Найдем точки, в которых производная равна 0:

(16x - 2x^3 - 8)e^(x+1) = 0

16x - 2x^3 - 8 = 0

2x(8 - x^2 - 4) = 0

x = 0, x = -2, x = 2

Исследуем знак производной на интервалах:
а) (-∞; -2):
Т.к. x < -2, то 16x > 0, -2x^3 > 0, 8 < 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) < 0.
e^(x+1) > 0. Таким образом производная отрицательна. Функция убывает на интервале от (-∞; -2).

б) (-2; 0):
Т.к. -2 < x < 0, то 16x < 0, -2x^3 < 0, 8 < 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) > 0.
e^(x+1) > 0. Таким образом производная положительна. Функция возрастает на интервале от (-2, 0).

в) (0; 2):
Т.к. 0 < x < 2, то 16x > 0, -2x^3 < 0, 8 > 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) > 0.
e^(x+1) > 0. Таким образом производная положительна. Функция возрастает на интервале от (0; 2).

г) (2; +∞):
Т.к. x > 2, то 16x > 0, -2x^3 < 0, 8 > 0. Таким образом, (16x - 2*x^3 - 8) > 0.
e^(x+1) > 0. Таким образом производная положительна. Функция возрастает на интервале от (2; +∞).

Таким образом, на интервале (a; a+3) функция y=(8-x^2)*e^(x+1) убывает при a < -2.