Геометрия. Нахождение отношений сторон треугольника через данные окружности лежащей на медиане. В треугольнике ABC лежит медиана BD. В треугольник вписана окружность, пересекающая медиану BD в точках X и Y, причём точка X лежит между точками B и Y, а BX:XY:YD= 1:2:1. Найдите отношение большей стороны треугольника ABC к его меньшей стороне

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB = a, BC = b, AC = c. Так как треугольник ABC вписанный в окружность, то точка D является серединой стороны AC.

Из условия BX:XY:YD= 1:2:1 получаем, что BD = 2XY, а DY = XY. Так как D - середина стороны AC, то DY = DC - YC = c/2 - XY.

Так как треугольник ABC вписанный в окружность, то углы BAD и BCD равны, а значит треугольники BAY и YCD подобны:

BA/CD = AY/CD = BA/AY = DX/CY

BA/CD = a/(c/2 - XY) = 1/2

AY/CD = XY/(c/2 - XY) = 1/2

Следовательно, XY = c/3. Из условия BX:XY:YD= 1:2:1 находим XY = a/3, а DY = a/3.

Далее, применяем теорему Пифагора для нахождения сторон треугольника ABC:

AB^2 + BC^2 = AC^2

a^2 + b^2 = c^2

тогда a^2 + (2a)^2 = (3a)^2

a^2 + 4a^2 = 9a^2

5a^2 = 9a^2

a^2 = 9/5

a = sqrt(9/5) = 3/sqrt(5)

Таким образом, отношение большей стороны треугольника ABC к его меньшей стороне равно 3/2.