Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истины утверждения: 1*4+2*7+3*10 + … + n*(3n+1) = n (n + 1)^2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

База индукции:
При n = 1 левая часть равна 1(3*1+1)= 4 и правая часть равна 1(1+1)^2 = 4, значит утверждение верно для n = 1.

Предположение индукции:
Пусть утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е. 14+27+310 + … + k(3k+1) = k (k + 1)^2.

Индукционный переход:
Докажем, что утверждение верно и для n = k + 1.
14+27+310 + … + k(3k+1) + (k + 1)*(3(k + 1) + 1) = k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 3 + 1) = k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)[k(k + 1) + 3k + 4] = (k + 1)(k^2 + k + 3k + 4) = (k + 1)(k^2 + 4k + 4) = (k + 1)(k + 2)^2.

Таким образом, утверждение доказано методом математической индукции для любого натурального числа n.