16 гномов и лилипутов сидят за круглым столом, причем больше половины из них гномы. Докажите, что какие-то два гнома сидят напротив друг друга.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что ни один гном не сидит напротив другого. Тогда либо все гномы сидят напротив лилипутов, либо гномы и лилипуты чередуются. Но так как гномов больше половины, то если они сидят напротив лилипутов, то лилипутов должно быть не больше 8 (так как 16 гномов и лилипутов в сумме), то есть гномов меньше половины, что противоречит условию. Значит, гномы и лилипуты должны чередоваться.

Теперь рассмотрим группу из 4 гномов и 4 лилипутов. Поскольку они чередуются, то каждый гном должен сидеть напротив лилипута. Но так как в нашей группе нет двух гномов, сидящих напротив друг друга, то это противоречит нашему предположению.

Таким образом, мы пришли к противоречию в обоих случаях, следовательно, какие-то два гнома должны сидеть напротив друг друга.