Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если к ним прибавить соответственно 6, 12, 14 и 8, то получим четыре числа, которые образуют арифметическую прогрессию. Найди числа, образующие геометрическую прогрессию.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть четыре числа образуют геометрическую прогрессию и имеют вид a, ar, ar^2, ar^3.

Тогда уравнение для арифметической прогрессии имеет вид:
a + 6, ar + 12, ar^2 + 14, ar^3 + 8

Так как числа образуют отдельно взятые геометрическую и арифметическую прогрессии, то
(ar^n) + 6 = a,
(ar^(n + 1)) + 12 = (ar) + 6,
(ar^(n + 2)) + 14 = (ar^2) + 6,
(ar^(n + 3)) + 8 = (ar^3) + 6

Подставим первое уравнение вместе с арифметической прогрессией:
(ar^n) + 6, (ar^(n + 1)) + 12, (ar^(n + 2)) + 14, (ar^(n + 3)) + 8
=>
ar + 12, ar^2 + 14, ar^3 + 8, ar^4

Подставим в это уравнение первое, второе уравнение:
ar + 12 = a => a = ar + 12 => r = (a - 12) / a (1)

(ar^2) + 14 = ar => r = (14 - a) / a (2)

Приравниваем полученные выражения и находим a:
(14 - a) / a = (a - 12) / a
14 - a = a - 12
2a = 26
a = 13

Теперь находим r, подставив a = 13 в уравнение (1):
r = (13 - 12) / 13 = 1 / 13

Итак, числа образующие геометрическую прогрессию: 13, 13/13, 13/13^2, 13/13^3, то есть 13, 1, 1/13, 1/169.