В круге служащем основанием цилиндра проведена хорда длина которой "а" соответствующей ей центральный угол равен альфа , высота целиндра h Найти его объем?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус основания цилиндра.

Заметим, что хорда, проведенная в круге и равная стороне правильного n-угольника, вписанного в данный круг, будет соответствовать ему. Так как центральный угол n-угольника равен 360/n градусов, то данное нам условие соответствует правильному n-угольнику с центральным углом 2*альфа. Значит, рассматриваем сектор круга, равный фигуре, образованной n-угольником и хордой.

Поскольку цилиндр можно представить как бесконечное количество правильных n-угольников с увеличивающимся n, то объем цилиндра можно найти как предел суммы объемов правильных n-угольников вписанных в данный цилиндр.

Суммарный объем n-угольника равен V_n = n h a * r_n, где a - длина стороны n-угольника, h - высота цилиндра, r_n - радиус вписанной окружности в n-угольник.

Так как n стремится к бесконечности, то длина стороны n-угольника будет стремиться к длине хорды a, сектор, описываемый, стремится к тому, что хорду станет диаметр, становясь равной двум радиусам => r = a/2 .

Объем цилиндра в результате будет равен V = lim V_n = lim (n h a r_n) = h a (lim r_n) = h a * r, где r = a/2.

Итак, V = h a (a/2) = h * a^2 / 2, что и является объемом данного цилиндра.