Найдите наименьшее значение функции y=sin^2x + sinx +1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего значения функции y = sin^2x + sinx + 1 найдем минимум функции с помощью производных.

Сначала найдем производную функции y по переменной x:
y' = 2sinx*cosx + cosx = 2sinxcosx + cosx.

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти точку экстремума:
2sinxcosx + cosx = 0
cosx(2sinx + 1) = 0.

Отсюда получаем два уравнения:
1) cosx = 0
2) 2sinx + 1 = 0

1) cosx = 0 при x = π/2, 3π/2.
2) 2sinx + 1 = 0
sinx = -1/2 при x = 7π/6, 11π/6.

Теперь найдем значения функции в полученных точках:
y(π/2) = sin^2(π/2) + sin(π/2) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3,
y(3π/2) = sin^2(3π/2) + sin(3π/2) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1,
y(7π/6) = sin^2(7π/6) + sin(7π/6) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 1/4,
y(11π/6) = sin^2(11π/6) + sin(11π/6) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 1/4.

Таким образом, наименьшее значение функции y = sin^2x + sinx + 1 равно 1, и оно достигается при x = 3π/2.