Ctg x/2 =- корень из трех нужно найти корни , которые входят в этот промежуток [-п/2; 2п]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти корни уравнения, можно преобразовать его и решить:

Ctg(x/2) = -sqrt(3)

Так как ctg(x/2) = cos(x)/sin(x/2), то заменим ctg(x/2) на cos(x)/sin(x/2):

cos(x)/sin(x/2) = -sqrt(3)

cos(x) = -sqrt(3)*sin(x/2)

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы выразить cos(x) через sin(x):

sin(x)^2 = 1 - cos(x)^2
sin(x)^2 = 1 - 3sin(x/2)^2
sin(x)^2 = 1 - 3(2sin(x/2)cos(x/2))^2
sin(x)^2 = 1 - 12sin(x/2)^2cos(x/2)^2

Теперь заменим sin(x)^2 в уравнении cos(x) = -sqrt(3)*sin(x/2):

1 - 12sin(x/2)^2cos(x/2)^2 = -3sin(x/2)^2
12sin(x/2)^2cos(x/2)^2 + 3sin(x/2)^2 = 1
3sin(x/2)^2(4cos(x/2)^2 + 1) = 1
3sin(x/2)^2(2cos(x/2) - sqrt(3))(2*cos(x/2) + sqrt(3)) = 1

Отсюда получается, что синус и косинус должны быть какими то числами. Найдем корни:

4*cos(x/2)^2 + 1 = 0
cos(x/2)^2 = -1/4
cos(x/2) = sqrt(-1/4)
cos(x/2) = i/2

Теперь найдем общее решение уравнения:

cos(x) = -sqrt(3)sin(x/2)
i/2 = -sqrt(3)sin(x/2)
sin(x/2) = -i/(2*sqrt(3))

Из этого видно, что sin(x/2) равен -i/(2*sqrt(3)), что является мнимым числом, поэтому решений у данного уравнения нет в данном промежутке.