Найдите в градусах наибольший корень уравнения 2sin^2 x + sin2x - sinx - cosx=0 на отрезке [0;2П]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно переписать в виде:

2sin^2x + sin2x - sinx - cosx = 0

sin2x = 2sinx*cosx

2sin^2x + 2sinx*cosx - sinx - cosx = 0

Преобразуем уравнение:

2sinx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0

(sinx + cosx)(2sinx - 1) = 0

sinx + cosx = 0 или 2sinx - 1 = 0

cosx = -sinx или sinx = 1/2

cosx = -sinx
cos^2x = sin^2x
1 - sin^2x = sin^2x
1 = 2sin^2x
1/2 = sin^2x
sinx = sqrt(1/2)
sinx = 1/sqrt(2)
sinx = sqrt(2)/2
x = pi/4

sinx = 1/2
x = pi/6

Проверим значения на отрезке [0;2П]:

x1 = pi/4: 2sin^2(pi/4) + sin(2pi/4) - sin(pi/4) - cos(pi/4) = 2*(1/2)^2 + sin(pi/2) - sin(pi/4) - cos(pi/4) = 1

x2 = pi/6: 2sin^2(pi/6) + sin(2pi/6) - sin(pi/6) - cos(pi/6) = 2*(sqrt(3)/2)^2 + sin(pi/3) - sin(pi/6) - cos(pi/6) = 0

Следовательно, наибольший корень уравнения на отрезке [0;2П] равен x = пи/4 (45 градусов).