В треугольнике АВС точка М - середина АС, МD и МЕ - биссектрисы треугольников АВМ и СВМ соответственно. Отрезки ВМ и DЕ пересекаюстся в точке F. Найдите МF ,если F=7.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Чевы.

Пусть AM = x, BM = y, CM = z. Так как M - середина и треугольник АСМ, то AM = MC = x.

Теперь выразим MB и MC через x, y, z:

MB = AB - AM = 2x - x = x,

MC = AC - AM = 2x + x = 3x.

По условию MD - биссектриса треугольника АBM. По теореме о биссектрисе:

BM/MA = BD/DA,

x/y = BD/(BD+2x),

BD = (x/y)(BD+2x),

BD = 2x/(y/x - 1).

Аналогично для CE:

EC = 2z/(z/(2z) - 1) = 4z.

Теперь применим теорему Чевы к треугольнику BEC и точке F:

MF BD CE = MC BF DE,

MF 2x/(y/x - 1) 4z = 3x 7 7,

MF * 8xz/(y - x) = 147x,

MF = 147x(y - x)/(8xz).

Обратите внимание, что условие F=7 обозначает, что BF = 7, а не MF.

Надо заметить, что x, y, z должны быть положительными числами, чтобы соответствовать геометрическому смыслу задачи.