Решить уравнение в целых числах 3*x^2+4*xy-7*y^2=13

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение является квадратным диофантовым уравнением. Для его решения воспользуемся методом замены переменных.

Представим уравнение 3x^2 + 4xy - 7y^2 = 13 в виде квадратичной формы: Ax^2 + Bxy + Cy^2 = D.

Нам необходимо найти такие целые числа x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

Согласно методу замены переменных, вводим новые переменные: X = 3x + 2y и Y = 2x + y.

Подставим эти значения в данное уравнение:

3(3x + 2y)^2 + 4(3x + 2y)(2x + y) - 7(2x + y)^2 = 13

Упростим:

3(9x^2 + 12xy + 4y^2) + 4(6x^2 + 7xy + 2y^2) - 7(4x^2 + 4xy + y^2) = 13

27x^2 + 36xy + 12y^2 + 24x^2 + 28xy + 8y^2 - 28x^2 - 28xy - 7y^2 = 13

23x^2 + 36xy + 12y^2 - 28x^2 - 28xy - 7y^2 = 13

-5x^2 + 8xy + 5y^2 = 13

Оставшееся уравнение представляет собой квадратное диофантово уравнение второго порядка.

Теперь можно использовать различные методы решения таких уравнений, например, добавление соответствующих констант или разложение на множители. Решение данного уравнения требует более сложных математических методов и алгоритмов, которые могут быть вычислены с использованием программного обеспечения или специализированных калькуляторов.