Решите уравнение в целых числах (x^2-y^2)^2=16y+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что данное уравнение можно переписать в виде
(x^2 - y^2 - 4y - 1)(x^2 - y^2 + 4y + 1) = 0

Рассмотрим каждое уравнение отдельно:

1) x^2 - y^2 - 4y - 1 =
x^2 - (y + 2)^2 =
(x - (y + 2))(x + (y + 2)) = 1

Так как у нас ограничение на целочисленные решения, то можно рассмотреть возможные значения для x и y
x - (y + 2) = 1 и x + (y + 2) =
Решая данные уравнения получаем x = 2, y = 0.

2) x^2 - y^2 + 4y + 1 =
x^2 - (y + 2)^2 = -1

Данное уравнение не имеет целочисленных решений, так как значение справа от знака равенства отрицательное и разность квадратов целых чисел не может быть отрицательным.

Таким образом, единственным целочисленным решением данного уравнения будет x = 2, y = 0.