Задача по матрицам Пусть А ∈ M(mn) (R)− произвольная матрица, переменные x ∈ R и y ∈ R .
Показать, что число главных неизвестных системы Ax = 0 совпадает с числом главных
неизвестных системы Ay = 0 (Замечание: тут можно пользоваться тем, что количество
главных переменных корректно определено и не зависит от ступенчатого вида.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть r1, r2,...,rk - строки матрицы A, где k - ранг матрицы A.
Так как Ax = 0, то одна из строк, скажем r1, является линейной комбинацией остальных строк.
Тогда система уравнений Ax = 0 эквивалентна системе уравнений:

r1 x = 0
r2 x = 0
...
rk * x = 0

Таким образом, количество главных переменных системы Ax = 0 равно количеству ненулевых компонентов вектора x (в данном случае это количество ненулевых компонентов вектора x, соответствующих свободным переменным).

Аналогично, для системы уравнений Ay = 0 все то же самое верно.

Таким образом, число главных неизвестных системы Ax = 0 совпадает с числом главных неизвестных системы Ay = 0.