Задача по матрицам Пусть А ∈ M(mn) (R)− произвольная матрица, переменные x ∈ R и y ∈ R Показать, что число главных неизвестных системы Ax = 0 совпадает с числом главны неизвестных системы Ay = 0 (Замечание: тут можно пользоваться тем, что количеств главных переменных корректно определено и не зависит от ступенчатого вида.)
Пусть r1, r2,...,rk - строки матрицы A, где k - ранг матрицы A Так как Ax = 0, то одна из строк, скажем r1, является линейной комбинацией остальных строк Тогда система уравнений Ax = 0 эквивалентна системе уравнений:
r1 x = r2 x = .. rk * x = 0
Таким образом, количество главных переменных системы Ax = 0 равно количеству ненулевых компонентов вектора x (в данном случае это количество ненулевых компонентов вектора x, соответствующих свободным переменным).
Аналогично, для системы уравнений Ay = 0 все то же самое верно.
Таким образом, число главных неизвестных системы Ax = 0 совпадает с числом главных неизвестных системы Ay = 0.
Пусть r1, r2,...,rk - строки матрицы A, где k - ранг матрицы A
Так как Ax = 0, то одна из строк, скажем r1, является линейной комбинацией остальных строк
Тогда система уравнений Ax = 0 эквивалентна системе уравнений:
r1 x =
r2 x =
..
rk * x = 0
Таким образом, количество главных переменных системы Ax = 0 равно количеству ненулевых компонентов вектора x (в данном случае это количество ненулевых компонентов вектора x, соответствующих свободным переменным).
Аналогично, для системы уравнений Ay = 0 все то же самое верно.
Таким образом, число главных неизвестных системы Ax = 0 совпадает с числом главных неизвестных системы Ay = 0.