После строительства дома осталось некоторое количество плиток. После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 12 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватит. При укладывании по 20 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, а при укладывании по 26 плиток тоже остаётся неполный ряд, в котором на 18 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 20. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть имеется x плиток. Тогда:
1) Если укладывать по 12 плиток, количество оставшихся плиток не является квадратом, то есть x не делится на 12.
2) При укладывании по 20 плиток остается один неполный ряд, значит x = 20n + 1.
3) При укладывании по 26 плиток также остается неполный ряд, где на 18 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 20. Это означает, что (20n + 1) - 18 = 26m, где n и m - натуральные числа.
Решим систему уравнений:
1) x ≠ 12k
2) x = 20n + 1
3) (20n + 1) - 18 = 26m

Из первого уравнения видно, что x = 12a + b, где b = 1, 2, ..., 11, а их остаток при делении на 12. Подставим во второе уравнение:
12a + b = 20n + 1
12a = 20n + 1 - b
12a = 20n + 1 - b = 20n + 1 - (12a + r) = 20n + 1 - 12a - r
12(a + r) = 20n + 1
2(6a + 3r) = 20n + 1
6a + 3r = 10n + 0.5
-a = 10n - 3r - 0.5
-a = 10(n - 1) + 10 - 3r - 0.5
-a = 10(n - 1) - 3(r + 3) - 0.5 - 9.5
-a = 10(n - 1) - 3(r + 3) - 10

Как видно из последних уравнений, отсюда x = 12(-1) + 11 = -1 → -1 - 1 = -2

Следовательно, после строительства дома осталось 2 плиток.