Трое друзей имеют по некоторой сумме денег. Первый даст из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого второй даёт двум другим столько, сколько каждый из них имеет. Наконец, и третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у каждого друга, оказывается, по 8 тысяч рублей. Сколько денег было у друзей в начале?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим суммы денег у трех друзей как ( x_1 ), ( x_2 ) и ( x_3 ) соответственно.

После первого шага:
У первого друга остается ( x_1 - 2(x_1 + x_2 + x_3) = x_1 - 2x ),
У второго друга становится ( x_2 + 2(x_1 + x_2 + x_3) = x_2 + 2x),
У третьего друга становится ( x_3 + 2(x_1 + x_2 + x_3) = x_3 + 2x).

После второго шага:
У первого друга становится ( x_1 - 2(x_1 - 2x + x_2 + 2x + x_3 + 2x) = 9x - x_1 ),
У второго друга остается ( x_2 + 2(x_1 - 2x + x_2 + 2x + x_3 + 2x) = x_2 - x ),
У третьего друга становится ( x_3 + 2(x_1 - 2x + x_2 + 2x + x_3 + 2x) = 9x - x_3 ).

После третьего шага:
У первого друга остается ( 9x - x_1 -2(9x - x_1 + x_2 - x + x_3 - x ) = 8 ),
У второго друга остается ( x_2 - x + 2(9x - x_1 + x_2 - x + x_3 - x ) = 8 ),
У третьего друга остается ( 9x - x_3 - 2(9x - x_1 + x_2 - x + x_3 - x ) = 8 ).

Приравнивая все это к 8, получаем:
[
\begin{cases}
9x - x_1 = 8 \
x_2 - x = 8 \
9x - x_3 = 8
\end{cases}
]

Решая это уравнение, находим, что ( x = 1 ), следовательно, в начале у первого друга было ( x_1 = 9 ) тысяч рублей, у второго ( x_2 = 10 ) тысяч рублей и у третьего ( x_3 = 9 ) тысяч рублей.