Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=1/sin^2xcos^2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения общего вида первообразных для функции f(x)=1/sin^2(x)cos^2(x) нужно использовать метод подстановки.

Предположим, что u = sin(x) и найдем производную:

du/dx = cos(x)

Тогда можно заменить sin^2(x) в функции f(x) на u^2 и cos^2(x) на (1-u^2), получим:

f(x) = 1/(u^2(1-u^2)) = 1/(u^2 - u^4)

Теперь можно найти первообразную функции f(x) вида:

∫ 1/(u^2 - u^4) du

Чтобы решить данный интеграл, можно разложить дробь на простейшие дроби по методу неопределенных коэффициентов. Получим:

1/(u^2 - u^4) = A/u + B/u^2

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые можно найти методом подстановки или методом простых дробей.

После нахождения коэффициентов A и B, можно взять интеграл от каждого слагаемого по отдельности и вернуться к переменной x.

Таким образом, общий вид первообразных для функции f(x)=1/sin^2(x)cos^2(x) будет представлен в виде интеграла от выражения 1/(u^2 - u^4), где u = sin(x).