Сумма четырёх вещественных чисел равна 10, а сумма их квадратов - 30. Докажите, что некоторые два из них отличаются не более, чем на 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть числа a, b, c, d таковы, что a <= b <= c <= d. Тогда их среднее арифметическое равно 10/4 = 2.5, а среднее квадратов равно (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)/4 = 30/4 = 7.5.
По неравенству Коши-Буняковского-Шварца:
(ab + bc + cd)^2 <= (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + b^2 + d^2)
(ab + bc + cd)^2 <= (30 - d^2)(30)
(ab + bc + cd)^2 <= (30 - d^2)(30)
ab + bc + cd <= 30 - d^2
2.5^2 = a b + b c + c d + d a <= 30 - d^2
d^2 - c d - 20 <= 0
То есть, уравнение d^2 - c d - 20 = 0 имеет корень, а значит c^2 - 4 * -20 = n^2
(n1 + n2)(n1 - n2) = 80
n1 + n2 = 16, n2 - n2 = 5
Таким образом, мы доказали, что разность двух чисел соседних два из них не превосходит единицы.