Найти экстремум функции (x^2-4)/(x^2-1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения экстремумов функции сначала найдем ее производную.

Пусть у = (x^2-4)/(x^2-1)

Тогда у' = ((x^2-4)'(x^2-1) - (x^2-4)(x^2-1)') / (x^2-1)^2

Упрощая выражение, получим:

у' = ((2x)(x^2-1) - (x^2-4)(2x)) / (x^2-1)^2
у' = (2x^3 - 2x - 2x^3 + 8x) / (x^2-1)^2
у' = (6x) / (x^2-1)^2
у' = 6x / (x^2-1)^2

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:

6x = 0
x = 0

Таким образом, мы получаем одну точку, в которой может быть экстремум - x = 0.

Для определения характера экстремума проведем вторую производную:

У'' = (6(x^2-1)^2 - 6x2(x^2-1)*(2x)) / (x^2-1)^4
У'' = (6(x^2-1)^2 - 12x^2(x^2-1)^2) / (x^2-1)^4
У'' = (6(x^2-1) - 12x^2(x^2-1)) / (x^2-1)^3
У'' = (6x^2 - 6 - 12x^4 + 12x^2) / (x^2-1)^3
У'' = -12x^4 + 18x^2 - 6 / (x^2-1)^3

Подставляем x = 0:

У''(0) = -6 / (0 - 1)^3
У''(0) = -6

Так как вторая производная отрицательна, это значит, что точка x = 0 является точкой максимума функции (x^2-4)/(x^2-1).

Таким образом, экстремум функции равен 0.