1) Решить уравнение cos4x = -2cos²x 2) Найти корни, принадлежащие заданному промежутку [0;180⁰]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Рассмотрим уравнение cos(4x) = -2cos²(x)
Используем формулу двойного угла для косинуса: cos(4x) = 2cos²(2x) - 1
Подставляем это в уравнение: 2cos²(2x) - 1 = -2cos²(x)
Упрощаем: 2cos²(2x) + 2cos²(x) - 1 = 0
Замена cos(2x) = y дает: 2y² + 2y - 1 = 0
Решаем это квадратное уравнение: y = (-2±√(2²-42(-1))) / 4 = (-2±√12) / 4 = (-2±2√3) / 4
y1 = (-2+2√3) / 4 = (2(√3-1)) / 4 = √3/2 - 1/2 = cos(30⁰) - cos(60⁰)
y2 = (-2-2√3) / 4 = (2(-√3-1)) / 4 = -√3/2 - 1/2 = cos(150⁰) - cos(120⁰)

Таким образом, уравнение имеет два корня: 2x = 30⁰ и 2x = 150⁰
Откуда x1 = 15⁰, x2 = 75⁰, x3 = 135⁰, x4 = 195⁰

2) Проверяем корни, принадлежат ли они промежутку [0;180⁰]
Корни x1 = 15⁰, x2 = 75⁰ принадлежат указанному промежутку.
Корни x3 = 135⁰, x4 = 195⁰ не принадлежат указанному промежутку.

Итак, корни уравнения cos(4x) = -2cos²(x), принадлежащие заданному промежутку, равны 15⁰ и 75⁰.