Объясните задачу по геометрии Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй в точке В.
Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Рассмотрим треугольник KAB. Поскольку прямая AB касается первой окружности в точке А, то угол KAD прямой. Аналогично, угол KBC также прямой, так как прямая BC касается второй окружности в точке В. Таким образом, у треугольника KAB два угла, сумма которых равна 180 градусам, а значит третий угол также равен 90 градусам. Получается, что треугольник KAB прямоугольный.
Из того, что у прямоугольного треугольника противоположные стороны параллельны (соответственно, AD и BC параллельны).

б) Площадь треугольника AKB можно найти с помощью формулы для площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = r p, где r - радиус вписанной окружности (в данном случае равен 1), p - полупериметр треугольника. Полупериметр равен (AB + BK + KA) / 2.
AB = AD + DB = 4 (так как радиус первой окружности равен 4)
BK = BC - CK = 4 - 1 = 3 (так как радиус второй окружности равен 1)
KA = 4 (так как радиус первой окружности равен 4)
Таким образом, полупериметр p = (4 + 3 + 4) / 2 = 11 / 2 = 5.5.
Площадь треугольника AKB = 1 5.5 = 5.5.