В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон ВС и АС пересекаются в точке О. Найдите строну Ос, если АВ = 10, а угол ВОА = 120°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим сторону ОС как x.
Так как треугольник ВОА – равносторонний, то ВО = ОА = 10 (так как АВ = 10).
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ВОС.
По теореме Пифагора:
ВО² + ОС² = ВС²,
10² + x² = (2 * АО)², так как О является серединой и x является высотой, проведенной к основанию
100 + x² = (AO)².
AO является радиусом описанной окружности, проходящей через вершины треугольника.

Воспользуемся формулой для площади треугольника, зависящей от радиуса описанной окружности (R):
S = (AO ÷ 2) ВС,
S = (AO ÷ 2) АВ sin(BOA),
S = (AO ÷ 2) 10 sin(120°),
S = (AO ÷ 2) 10 √3 ÷ 2,
Площадь треугольника также можно выразить через радиус описанной окружности:
S = (BC AO) ÷ 2,
S = (2 10 R) ÷ 2,
S = 10 * R,
S = 5R.

Приравниваем две формулы для площади треугольника:
5 AO = (AO ÷ 2) 10 * √3 ÷ 2,
10AO = 5AO√3,
AO = 2AO√3,
AO = 10√3,
100 + x² = AO²,
100 + x² = 300,
x² = 200,
x = 10√2.

Итак, сторона ОС равна 10√2.