Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии, если известно: S4=9; S6=22,5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для арифметической прогрессии сумма первых n членов вычисляется по формуле $$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$$, где $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $d$ - разность прогрессии.

Из условия задачи имеем: $S_4=9$ и $S_6=22.5$. Значит:

$$S_4 = \frac{4}{2}(2a_1+3d)=9$$
$$2(2a_1+3d)=9$$
$$4a_1+6d=9$$
$$2a_1+3d=\frac{9}{2}$$

$$S_6 = \frac{6}{2}(2a_1+5d)=22.5$$
$$3(2a_1+5d)=22.5$$
$$6a_1+15d=22.5$$
$$2a_1+5d=\frac{22.5}{3}$$
$$2a_1+5d=7.5$$

Из полученных уравнений можно составить систему и решить ее методом умножения и вычитания:

$$\begin{cases} 2a_1 + 3d = \frac{9}{2} \ 2a_1 + 5d = 7.5 \end{cases}$$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$2d = \frac{9}{2} - 7.5$$
$$2d = \frac{9}{2} - \frac{15}{2}$$
$$2d = -\frac{6}{2}$$
$$d = -3$$

Подставляем значение d в первое из уравнений:

$$2a_1 + 3(-3) = \frac{9}{2}$$
$$2a_1 - 9 = \frac{9}{2}$$
$$2a_1 = \frac{9}{2} + 9$$
$$2a_1 = \frac{9}{2} + \frac{18}{2}$$
$$2a_1 = \frac{27}{2}$$
$$a_1 = \frac{27}{4}$$

Таким образом, общий член арифметической прогрессии равен:
$$a_n=\frac{27}{4} + (-3)(n -1)=\frac{27}{4}-3n+3$$