В треугольник вписана окружность. Прямые, соединяющие центр окружности с вершинами, делят треугольник на части с площадями 120, 104, 112. Найти радиус вписанной окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника через a, b, c, а площади треугольников, образованных прямыми, через S1, S2, S3 соответственно. Тогда можно записать следующую систему уравнений:

S1 = (a^2 r)/2
S2 = (b^2 r)/2
S3 = (c^2 * r)/2

S1 + S2 + S3 = (a^2 + b^2 + c^2) * r / 2 = 120 + 104 + 112 = 336

Так как площадь треугольника можно выразить через полупериметр треугольника и радиус вписанной окружности по формуле S = p*r, где p - полупериметр, то можно выразить радиус через площадь треугольника:

r = 2S/p = 2 * 336 / (a + b + c)

Так как a + b + c = 2p, где p - полупериметр, то:

r = 2 * 336 / (2p) = 336 / p

Так как площадь треугольника можно выразить через стороны треугольника по формуле Герона, то:

S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c))

Зная значения всех площадей, можно записать систему уравнений:

120 = sqrt(p (p - a) (p - b) (p - c))
104 = sqrt(p (p - a) (p - b) (p - c))
112 = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c))

Решив данную систему уравнений, найдем значения сторон треугольника a, b, c и, следовательно, радиус вписанной окружности r.