Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 32√3 Один из ост­рых углов равен 30°. Най­ди­те длину ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив этого угла.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катет, лежащий напротив угла 30°, равен a, а другой катет равен b. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна (ab)/2.

Так как площадь треугольника равна 32√3, то (ab)/2 = 32√3.

Также из условия известно, что один из острых углов равен 30°. Значит, тангенс этого угла будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg(30°) = a/b = 1/√3 = √3/3.

Из уравнения получаем a = b√3.

Подставим это выражение в уравнение для площади: (b√3 * b) / 2 = 32√3 => 3b^2 / 2 = 32 => 3b^2 = 64 => b^2 = 64/3 => b = 8/√3 = 8√3 / 3.

Теперь найдем значение катета a: a = b√3 = (8√3 / 3) * √3 = 8.

Итак, длина катета, лежащего напротив угла 30°, равна 8.