Докажи что выражение n³ - n делится нацело на 6 при любом n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это по индукции.

База:
При n = 1, выражение равно 1³ - 1 = 0, что делится на 6.

Предположение индукции:
Пусть для некоторого k выражение k³ - k делится нацело на 6.

Индукционный переход:
Докажем, что это верно и для (k+1):
(k+1)³ - (k+1) = k³ + 3k² + 3k + 1 - k - 1
= k³ - k + 3k² + 3k
= (k³ - k) + 3(k² + k)

По предположению индукции k³ - k делится нацело на 6, так как k³ - k = 6m (где m - целое число).

Таким образом, (k+1)³ - (k+1) = 6m + 3(k² + k) = 3(2m + k² + k)

Поскольку (2m + k² + k) также является целым числом, получаем, что (k+1)³ - (k+1) делится нацело на 6.

Таким образом, при любом n выражение n³ - n делится нацело на 6.