Исследуйте функции на монотонность: A) y = x5 - 5x; б) y = x3 - 3x2 - 45x + 2; в) y=Inv1+x2;
д) y = arctg x - x.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

A) Для функции y = x^5 - 5x найдем производную: y' = 5x^4 - 5. Производная является положительной при x > 1 и отрицательной при x < 1, что означает, что функция возрастает при x > 1 и убывает при x < 1. Значит, функция монотонно возрастает на промежутке (-∞, 1) и монотонно убывает на промежутке (1, +∞).

Б) Для функции y = x^3 - 3x^2 - 45x + 2 найдем производную: y' = 3x^2 - 6x - 45. Найдем корни уравнения y' = 0: x = -3, x = 5. Построим знаки производной на числовой прямой: (-∞, -3) - (-)(+)(-), (-3, 5) - (+)(-)(-), (5, +∞) - (+)(+)(-). Из этого следует, что функция монотонно возрастает на интервале (-∞, -3), монотонно убывает на интервале (-3, 5) и снова монотонно возрастает на интервале (5, +∞).

В) Функция y=Inv(1+x^2) монотонно возрастает на всей области определения (-∞, +∞), так как производная этой функции всюду положительна.

Г) Для функции y = arctg x - x найдем производную: y' = 1/(1+x^2) - 1. Производная является положительной при x < 0 и отрицательной при x > 0, что означает монотонное убывание на интервале (-∞, 0) и монотонное возрастание на интервале (0, +∞).

Таким образом, мы исследовали функции на монотонность и получили их изменение на различных промежутках.