Докажите тождество : Sin^4A/2- cos^4A/2=-cosA

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Имеем:

sin^4(A/2) - cos^4(A/2) = (sin^2(A/2) + cos^2(A/2))(sin^2(A/2) - cos^2(A/2))

По формуле синуса и косинуса половинного угла:

sin^2(A/2) = (1 - cosA) / 2,
cos^2(A/2) = (1 + cosA) / 2

Подставим значения в исходное равенство:

(sin^2(A/2) + cos^2(A/2))(sin^2(A/2) - cos^2(A/2)) = ((1 - cosA)/2 + (1 + cosA)/2)((1 - cosA)/2 - (1 + cosA)/2)

Выполним раскрытие скобок:

((1-cosA)+(1+cosA)/2)((1-cosA)-(1+cosA)/2) = (2 - 2cosA)/2*(-2cosA)/2 = -cosA

Таким образом, мы доказали тождество sin^4(A/2) - cos^4(A/2) = -cosA.