Делимость, целые числа Саша купил 20 пирожков с мясом и 21 пирожок с капустой, потратив все деньги, которые были у него в кошельке. Проанализировав покупку, Саша понял, что цены на пирожки могли быть только такими, чтобы он мог потратить все свои деньги и купить то же количество пирожков каждого вида (то есть если бы цены были какими-нибудь другими, то Саша бы не смог потратить то количество денег, что он потратил в итоге, и одновременно с этим купить то же самое количество пирожков каждого вида). Известно, что пирожок каждого вида стоит целое положительное число рублей.
Какое наибольшее количество рублей могло быть у Саши в кошельке?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть цена одного пирожка с мясом равна $а$ рублей, а цена одного пирожка с капустой равна $b$ рублей.

Так как Саша купил по 20 пирожков каждого вида, то он потратил $20а$ и $21b$ рублей соответственно.

Также из условия задачи следует, что $20а = 21b$, так как он потратил все деньги и купил одинаковое количество пирожков каждого вида.

Следовательно, $a = \frac{21}{20}b$. Так как цены на пирожки - целые числа, то $b$ должно быть кратно 20. Пусть $b = 20k$, где $k$ - целое число.

Тогда $a = \frac{21}{20} \cdot 20k = 21k$.

Таким образом, наибольшее количество рублей, которое могло быть у Саши в кошельке, равно $20а + 21b = 20 \cdot 21k + 21 \cdot 20k = 20 \cdot 21 \cdot 41 = 20 \cdot 861 = 17220$ рублей.