Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=12 см, КС=8 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину сторон параллелограмма как а, b, c, d (AB = a, BC = b, CD = c, DA = d).

Так как биссектриса угла A параллелограмма пересекает сторону ВС в точке К, то треугольник BAK является равнобедренным (так как AB = AK), а треугольник CAK также является равнобедренным (так как AC = AK). Следовательно, углы ABC и ADC равны между собой, а углы BAD и BCD равны между собой.

Так как углы ABC и ADC равны, то BC = CD, следовательно b = c. Так же углы BAD и BCD равны, то AB = CD, следовательно a = c.

Теперь можем выразить a через b:

a = c = \dfrac{b}{8} \cdot 12 = \dfrac{3}{2}b

Таким образом, периметр параллелограмма равен:

P = 2(a + b) = 2\left(\dfrac{3}{2}b + b\right) = 2\cdot\dfrac{5}{2}b = 5b

Из условия задачи известно, что ВК = 12 см и КС = 8 см:

ВК + КС = BC

12 + 8 = b

b = 20 см

Итак, периметр параллелограмма равен:

P = 5 \cdot 20 = 100 см

Ответ: периметр параллелограмма равен 100 см.