Для нахождения производной функции y=3^x(x+1) сначала выразим выражение в более удобной форме:

y = 3^x * (x+1)

Теперь продифференцируем это выражение по x, используя правило производной произведения функций:

y' = (d/dx)(3^x) (x+1) + 3^x (d/dx)(x+1)

Для нахождения первого слагаемого производной 3^x воспользуемся формулой:

(dy/dx)(a^x) = ln(a) * a^x

Подставляем a=3 и продифференцируем (3^x):

(d/dx)(3^x) = ln(3) * 3^x

Теперь продифференцируем (x+1) по x:

(d/dx)(x+1) = 1

Подставляем все обратно в формулу для y':

y' = ln(3) 3^x (x+1) + 3^x * 1

y' = ln(3) 3^x (x+1) + 3^x

Теперь находим значение производной y' при x=2:

y'(2) = ln(3) 3^2 (2+1) + 3^2

y'(2) = ln(3) 9 3 + 9

y'(2) = ln(3) * 27 + 9

y'(2) = 3ln(3) + 9

Поэтому y'(2) = 3ln(3) + 9