В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB.... .... В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку отрезок A1B1 параллелен ребру AB, то треугольники AA1B1 и A1B1B равны и подобны.
Из подобия треугольников следует, что
(\dfrac{AA_1}{AB} = \dfrac{A_1B_1}{BB_1} = \dfrac{A_1B_1}{AB}),
откуда (AA_1 \cdot BB_1 = AB^2).

Таким образом, площадь боковой грани пирамиды SABC, образованной треугольниками AA1B1 и A1B1B, равна ( \frac{1}{2} \cdot AA_1 \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot AB^2).

Аналогично можно показать, что площади боковых граней пирамиды, образованных другими парами треугольников, также равны. Таким образом, получаем, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.