В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через M и N середины отрезков AB и A1B1 соответственно. Так как A1B1 параллельно AB, то треугольники A1MN и ABNM подобны по двум углам, тогда MN параллельно A1B1 и равен A1B1/2.

Так как треугольники A1MN и ABNM подобны, то площадь треугольника A1MN равна квадрату стороны A1M, умноженному на отношение площадей подобных фигур:

S(A1MN) = S(ABMN) (A1M/NM)^2 = S(ABC) (A1B1/2/AB)^2.

Таким образом, площадь боковой грани A1MN равна половине квадрата отношения длины отрезка A1B1 к длине ребра AB, то есть площадь боковой грани A1MN зависит только от соотношения длин A1B1 и AB. Это значит, что существует бесконечное множество треугольников ABC с одинаковой площадью боковой грани A1MN - просто достаточно варьировать длину отрезка AB.