В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точку пересечения медиан в треугольнике ABC за O. Так как отрезок A1B1 параллелен ребру AB, то треугольники A1OB1 и ABC подобны, так как у них соответственные углы равны (углы при вершине O равны, углы при вершине B тоже равны).

Таким образом, соотношение сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот. А поскольку высоты из одной вершины треугольников SABC и SAB1C1 также будут параллельны, то площади треугольников будут пропорциональны квадратам оснований.

Отсюда следует, что площади двух пар треугольников (A1OB1 и ABC, SAB1C1 и SABC) будут равны. То есть, две грани пирамиды имеют одинаковые площади.