В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через M и N середины отрезков AB и A1B1 соответственно. Так как A1B1 параллелен AB, то треугольники AAB1 и MNB1 подобны по двум углам, следовательно, соотношение длин сторон A1B1 и MN равно отношению длин сторон AB и AM.

Так как отрезок A1B1 параллелен ребру AB, треугольник A1BB1 также подобен треугольнику ASB. Следовательно, соотношение площадей треугольников ABB1 и ASB равно квадрату отношения длин сторон A1B1 и AB.

Таким образом, мы видим, что площади треугольников ASB и ABB1 связаны соотношением площадей треугольников A1B1 и MN. Так как A1B1 имеет площадь, равную площади основания пирамиды (S), а MN имеет площадь равную половине площади основания пирамиды (S), можно сделать вывод, что площади граней ASB и ABB1 также одинаковы.