Прямые L:у=кx+б, l1=к1x+б1 и l2:у=к2x+б2 касаются гиперболы y=1/x. Известно, что b=b1+b2. Докажите, что к>=2(к1+к2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим точки касания прямых с гиперболой y=1/x. Пусть (x0, y0) - точка касания прямой L с гиперболой, (x1, y1) - точка касания прямой l1 с гиперболой, (x2, y2) - точка касания прямой l2 с гиперболой.

Так как прямая касается гиперболы, то уравнения прямых проходят через точку касания:

y0 = kx0 + b,

y1 = k1x1 + b1,

y2 = k2x2 + b2.

Также известно, что эти точки лежат на гиперболе, следовательно, они удовлетворяют уравнению y = 1/x:

y0 = 1/x0,

y1 = 1/x1,

y2 = 1/x2.

Теперь найдем производные от уравнения y=1/x и подставим точки касания:

y0' = -1/(x0^2) = k,

y1' = -1/(x1^2) = k1,

y2' = -1/(x2^2) = k2.

Теперь выразим x0, x1, x2 через их производные:

x0 = -1/k,

x1 = -1/k1,

x2 = -1/k2.

Так как точки касания лежат на одной прямой, то они образуют арифметическую прогрессию, следовательно:

2x0 = x1 + x2,

-2/k = -1/k1 - 1/k2,

2/k = k1 + k2.

Отсюда получаем, что k >= 2(k1 + k2). Теорема доказана.