Олимпиада по математике Найдите наименьшее натуральное число n при котором число корень 51+ n + корень 51-n является целым

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы сумма корней √(51 + n) + √(51 - n) была целым числом, число под корнем должно быть квадратом другого целого числа. То есть 51 + n и 51 - n должны быть квадратами натуральных чисел.

Представим 51 + n = a^2 и 51 - n = b^2, где a и b - натуральные числа.

Из системы уравнений находим:

a^2 - b^2 = 2n

(a + b)(a - b) = 2n

Так как n - натуральное число, то и 2n - тоже натуральное число. Значит a + b и a - b - тоже целые числа.

Подходящие значения для a и b: (a + b) = 2, (a - b) = 1

Тогда получаем a = 1, b = 0

Из уравнений:

a^2 = 1, b^2 = 0

51 + n = 1, 51 - n = 0

Решая систему уравнений, находим n = 50.

Ответ: Наименьшее натуральное число n, при котором сумма корней √(51 + n) + √(51 - n) будет целым числом, равно 50.