Сумма квадратов корней уравнения х^2-4x+p=0 равна 16.Найдите значение р

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем корни уравнения. Используем формулу дискриминанта:

D = (-4)^2 - 41p = 16 - 4p

Так как сумма квадратов корней равна 16, то квадраты корней нашего уравнения равны 16:

x1^2 + x2^2 = (-b)^2 = 16

Найдем сначала сами корни уравнения по формуле:

x1,2 = (4 ± √D) / 2 = (4 ± √(16 - 4p)) / 2

Теперь подставим найденные корни в выражение для суммы квадратов:

(4 ± √(16 - 4p))^2 + (4 ∓ √(16 - 4p))^2 = 16

(4 ± √(16 - 4p) + 4 ∓ √(16 - 4p))^2 = 16

(8 ∓ 2√(16 - 4p))^2 = 16

Раскроем скобки:

64 ± 32√(16 - 4p) + 4(16 - 4p) = 16

64 ± 32√(16 - 4p) + 64 - 16p = 16

128 ± 32√(16 - 4p) - 16p = 16

128 ± 32√(16 - 4p) = 16 + 16p

32√(16 - 4p) = -112 - 16p

√(16 - 4p) = (-112 - 16p) / 32 = -14 - 2p

(16 - 4p) = (-14 - 2p)^2 = 196 + 56p + 4p^2

4p^2 + 56p + 180 = 0

p^2 + 14p + 45 = 0

(p + 9)(p + 5) = 0

p = -9, p = -5

Итак, значения параметра p равны -9 и -5.