Исследовать на сходимость: (сумма)=((-1)^(n+1))/(n(2n+1))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования на сходимость данного ряда необходимо применить признак Лейбница.

Признак Лейбница гласит, что если последовательность {b_n} удовлетворяет условиям:

b_n > 0 для всех n,b_n убывает (то есть bn > b(n+1) для всех n),lim(n->inf) b_n = 0,

то знакочередующийся ряд (-1)^(n+1) * b_n сходится.

В данном случае последовательность b_n = 1/(n(2n+1)) удовлетворяет условиям признака Лейбница:

b_n = 1/(n(2n+1)) > 0 для всех n,b_n убывает, так как (2n+1) > 2n, следовательно 1/(n(2n+1)) > 1/(n*2n) = 1/(2n^2) > 1/(3n^2), и таким образом последовательность убывает,lim(n->inf) 1/(n(2n+1)) = 0.

Следовательно, исследуемый знакочередующийся ряд сходится.