Решите неравенство: a) 2x^2+5x-7<0 б)5x^2-4x+21>0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Для решения неравенства 2x^2 + 5x - 7 < 0 нужно найти корни квадратного уравнения 2x^2 + 5x - 7 = 0. Для этого воспользуемся дискриминантом:

D = 5^2 - 42(-7) = 25 + 56 = 81

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

x1 = (-5 + sqrt(D)) / 4 = (-5 + 9) / 4 = 1
x2 = (-5 - sqrt(D)) / 4 = (-5 - 9) / 4 = -3.5

Эти корни делят числовую прямую на три интервала: (-бесконечность; -3.5), (-3.5; 1) и (1; +бесконечность). Теперь необходимо определить знак выражения 2x^2 + 5x - 7 на каждом из интервалов.

1) Подставляем x = -4: 2(-4)^2 + 5(-4) - 7 = 216 - 20 - 7 = 32 - 20 - 7 = 5 > 0
2) Подставляем x = 0: 20^2 + 50 - 7 = -7 < 0
3) Подставляем x = 2: 22^2 + 52 - 7 = 24 + 10 - 7 = 8 + 10 - 7 = 11 > 0

Таким образом, неравенство 2x^2 + 5x - 7 < 0 выполняется на интервале (-3.5; 1).

б) Для решения неравенства 5x^2 - 4x + 21 > 0 можно применить метод квадратного трехчлена. Очевидно, что дискриминант D = (-4)^2 - 4521 = 16 - 420 = -404 < 0, поэтому уравнение 5x^2 - 4x + 21 = 0 не имеет вещественных корней.

Поскольку дискриминант отрицателен, то уравнение 5x^2 - 4x + 21 = 0 не имеет вещественных корней. Значит, дискриминант равен -404, а значит график функции не пересекает ось x. Отсюда следует что функция сохраняет знак. Так как a = 5 > 0, то функция приобретает положительные значения для x ε R.

Следовательно, неравенство 5x^2 - 4x + 21 > 0 верно для любых значений x.