Как решить такую задачу используя производную? Дана прямоугольная система координат Оху. Выяснить, какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка М(0;1), а катеты лежат на прямых х=-2 и у=0. (с чертежом)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи используем производные.

Обозначим вершины прямоугольного треугольника А, В, С, где точка М лежит на гипотенузе АС. Также обозначим координаты вершин треугольника: A(x, 0), B(-2, y), C(0, 1).

Тогда площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 0.5 * |x(y - 1) + 4|

Нам нужно найти такие значения x и y, при которых S будет минимальной.

Используем производные для поиска минимума:

dS/dx = 0.5 * (y - 1)

dS/dy = 0.5 * x

Теперь приравняем производные к нулю и найдем значения x и y:

y - 1 = 0
y = 1

x = 0

Таким образом, точки B и C совпадают, а координаты точки А - (0, 0). Итак, наименьшая площадь прямоугольного треугольника равна 2.