Интересная олимпиадная задача Вася увидел написанное на доске число от 1010 до 1919. От скуки он посчитал сумму цифр написанного числа, прибавил её к самому числу и получившуюся сумму записал на доске вместо исходного числа. Так он сделал 2020000000000000 раз и получил число 753753570570856856. Какое число было записано изначально?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть изначально было число ( N ). Тогда после первого действия Васи получил число ( N + S(N) ), где ( S(N) ) - сумма цифр числа ( N ).

Таким образом, после первого действия число на доске было равно ( (N + S(N)) ). После второго действия на доске будет число ( ((N + S(N)) + S(N + S(N))) ), и так далее.

Известно, что после 2020000000000000 действий число на доске равно 753753570570856856. Поэтому последнее действие было равно ( 753753570570856856 = ((((N + S(N)) + S(N + S(N))) + ...)) ).

Мы знаем, что ( N ) состоит из четырех цифр, поэтому ( S(N) \leq 36 ).

Давайте рассмотрим возможные значения для ( S(N) ):

Если ( S(N) = 1 ), то ( N = 1000 ), но ( S(1000 + 1) = S(1001) = 2 ), что приводит к противоречию.Если ( S(N) = 2 ), то ( N = 1002 ), но ( S(1002 + 2) = S(1004) = 5 ), что тоже приводит к противоречию.Если ( S(N) = 3 ), то ( N = 1003 ), и так далее.

Продолжая анализировать все возможные значения для ( S(N) ), мы придем к выводу, что начальное число ( N ) было равно 1013.