Докажите тождество 2sin²(45º-2t)+sin4t=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, разложим sin(45º - 2t) и sin(4t) по формулам приведения:

sin(45º - 2t) = sin(45º)cos(2t) - cos(45º)sin(2t)
sin(45º - 2t) = √2/2 (cos(2t) - sin(2t))
sin(45º - 2t) = (√2/2)cos(2t) - (√2/2)*sin(2t)

sin(4t) = 2sin(2t)cos(2t)
sin(4t) = 2 2sin(t)cos(t) cos(2t)
sin(4t) = 4sin(t)cos(t)cos(2t)
sin(4t) = 4sin(t)cos(t)cos(2t)

Теперь подставим полученные значения обратно в данное тождество:

2sin²(45º - 2t) + sin(4t) = 1
2(sin²(45º)cos²(2t) - sin(45º)cos(2t)sin(45º)cos(2t)) + 4sin(t)cos(t)cos(2t) = 1
2((√2/2)^2cos(2t) - (√2/2)√2/2sin(2t)cos(2t)) + 4sin(t)cos(t)cos(2t) = 1
2(1/2 cos(2t) - (1/2) sin(2t) cos(2t)) + 4sin(t)cos(t)cos(2t) = 1
cos(2t) - sin(2t) cos(2t) + 4sin(t)cos(t)cos(2t) = 1
cos(2t)(1 - 4sin(t)cos(t)) = 1
cos(2t) cos(2t) = 1
cos^2(2t) = 1

Таким образом, тождество 2sin²(45º-2t) + sin(4t) = 1 подтверждается.