Чтобы проинтегрировать функцию y = x*ln(x), воспользуемся интегрированием по частям.

Интегрирование по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du

Выберем u = ln(x), тогда dv = x dx, и произведем дифференцирование и интегрирование:

du = (1/x)dx
v = (1/2)x^2

Подставим в формулу:

∫xln(x)dx = (1/2)x^2ln(x) - ∫(1/2)x^2(1/x)dx
∫xln(x)dx = (1/2)x^2ln(x) - (1/2)∫xdx
∫xln(x)dx = (1/2)x^2ln(x) - (1/2)(1/2)x^2 + C
∫xln(x)dx = (1/2)x^2ln(x) - (1/4)x^2 + C

Где C - произвольная постоянная.