Для нахождения производной функции (f(x) = \frac{x^2-5}{x+2}) используем правило дифференцирования частного функций.

Выразим функцию (f(x)) в виде (f(x) = (x^2 - 5)(x+2)^{-1}).

Применим правило дифференцирования частного:

[
(f/g)' = (f'g - fg')/g^2,
]

где
(f(x) = x^2 - 5) и
(g(x) = x + 2).

Найдем производные (f'(x)) и (g'(x)):

(f'(x) = 2x) и
(g'(x) = 1).

Подставляем найденные значения в формулу:

[
\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{2x(x + 2) - (x^2 - 5) \cdot 1}{(x + 2)^2} \
&= \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 5}{(x + 2)^2} \
&= \frac{x^2 + 4x + 5}{(x + 2)^2}.
\end{aligned}
]

Итак, производная функции (f(x) = \frac{x^2-5}{x+2}) равна (\frac{x^2 + 4x + 5}{(x + 2)^2}).